必要性：若H是G的子群，自然非空，并对乘法和取逆封闭，从而H≠∅,并对任意a,b∈H,有ab⁻¹∈H。
充分性：首先，由H≠，可取a∈H，由条件得e=aa∈H，因此H包含G的单位元e。
子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。
真子集
如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一个元素不属于A，那么A就是B的真子集，可记作：A⊊B。
符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，且x∈B使x∉A，则A⊊B。集合A就是集合B的真子集。